MAKALAH
DIFERENSIAL
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Komputasi
Dosen Pengampu: Winda Setya S.Si.,M.Sc.
Muhammad Sidiq Nursabil 1222070045
Ratna Widia Astuti 1222070055
Singgih Panita Budiman 1222070066
Siti Nurhalimah 1222070068
KELAS 6B
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS TARBIYAN DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2025
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur tim penyusun panjatkan kehadirat Allah Ta’ala atas limpahan Rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah yang berjudul “Diferensial” dapat kami selesaikan dengan baik. Tim penyusun berharap makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi pembaca mengenai Persamaan diferensial. Begitu pula terimakasih atas limpahan kesehatan dan kesempatan yang Allah SWT berikan kepada kami sehingga makalah ini dapat kami susun melalui beberapa sumber yakni melalui kajian Pustaka maupun melalui media internet.
Demikian makalah ini kami buat, apabila terjadi kesalahan dalam penulisan ataupun adanya ketidaksesuaian materi yang kami angkat pada makalah ini, kami mohon maaf. Tim penulis menerima kritik dan saran seluas-luasnya dari oembaca agar bisa membuat karya makalah yang lebih baik pada kesempatan berikutnya.
Bandung, 16 Maret 2025
Penyusun, kelompok 8
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR......................................................................................................... ii
DAFTAR ISI....................................................................................................................... iii
BAB I................................................................................................................................... 4
PENDAHULUAN .............................................................................................................. 4
A. Latar Belakang........................................................................................................... 4
B. Rumusan Masalah ..................................................................................................... 5
C. Tujuan ......................................................................................................................... 5
BAB II PEMBAHASAN..................................................................................................... 6
A. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)............................................................................. 6
B. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) .......................................................................... 8
C. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial.................................................... 10
D. Penerapan diferensia dalam MATLAB ...................................................................... 10
BAB III PENUTUP............................................................................................................ 14
A. Kesimpulan.................................................................................................................... 14
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 15
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Persamana diferensial merupakan salah satu cabang penting dalam matematika yang mempelajari suatu hubungan antara suatu fungsidan turunannya. Persaman ini muncul dalam berbagai ilmu seperti fisika, teknik, biologi, ekonomi dan ilmu komputer, karena dalam persamaan diferensial banyak fenomena alam dan sistem dinamis yang dapat dimodelkan menggunakan persamaan diferensial.
Teori persamaan diferensial cukup berkembang yang secara umum persamaan ini dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan yang melibatkan suatu fungsi dengan satu variabel bebas serta turunannya. Persamaan diferensial biasa menggunakan fungsi yang tidak diketahui (variabek terikat) dalam persaman diferensial biasa aini fungsi yang dicari bergantung pada satu variabel yang berhubungan dengan variabel tersebut. Dalam bentuk sederhana fungsi yang tidak diketahui ini dalam bentuk fungsi bilangan rill atau kompleks.
Selanjutnya, terdapat persamaan diferensial parsial adalah persamaan dimana fungsi yang tidak diketahui (variabel bebas). Persamaan diferensial parsial persamaan yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi lebih dari satu variabel bebas. Persamaan ini digunakan untuk menggambarkan sebuah fenomena yang berubah lebih dari satu variabel seperti ruang dan waktu dalam bidang fisika, Teknik maupun lainnya. Jenis persamaan diferensial parsial cukup banyak yaitu pada persamaan eliptik, hiperbolik dan parabolik, jenis ini sangat penting pada linear orde dua.
Persamaan direfensial biasa maupun parsial dapat digolongkon sebagai linier atau nonlinier. Persamaan diferensial dapat dikatakan linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasill kali tidak dibolehkan). Namun, bila tidak memenuhi syarat ini
persamaan tersebut termasuk pada nonlinier. Dengan adanya penyelesaian menggunakan persamaan diferensial ini bertujuan untuk memenuhi hubungan diferensial yang diberikan. Terdapat beberpaa jenis metode penyelesaian yang bervariasi, mulai dari teknik analitis seperti pemisahan variabel dan metode integral hingga menggunakan pendekatan numerik yang digunakan untuk kasus yang kompleks.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan diferensial biasa dan diferensial parsial? 2. Apa saja metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial?
3. Apa aplikasi yang digunakan dalam penerapan diferensial biasa dan diferensial parsial?
C. Tujuan
1. Dapat memahami konsep dasar dari persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial serta dapat membedakan antara keduanya. 2. Dapat menganalisis berbagai metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial baik secara numerik maupun analitis.
2. Dapat mengidentifikasikan penerapan persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial dalam berbagai bidang.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Persamaan diferensial biasa yaitu sebuah persamaan diferensial jika fungsi yang tidak diketahui hanya bergantung hanya melibatkan satu variabel bebas yang memuat turunan parsial dari fungsi yang tidak diketahui. Didalam persamaan diferensial terdapat beberapa istilah yaitu turunan tertinggi dalam sebuah persamaan diferensiaal (Orde) dan pangkat dari turunan tertinggi dalam sebuah persamaan diferensial (Derajat).
Persamaan diferensial bias aini dapat dilakukan menggunakan metode numerik, yang memiliki kelebihan dan kekurangan tersendiri. Kelebihan dari persamaan diferensial biasa yaitu persamaannya dapat dirubah menjadi galat sehingga bentu persamaan diferensial biasa ini dapat diselesaikan dalam bentuk apapun. Namun, ada juga kekurangan dari persamaan diferensial biasa ini yaitu diperlukan jumlah pengulangan yang maksimal untuk menghasilkan solusi yang akurat.
Metode penyelesaian yang digunakan pada persamaan diferensial biasa terdapat banyak jenis yaitu sebagai berikut:
1. Metode Analitik
Metode yang digunakan ketika solusi dapat diperoleh dalam bentuk fungsi eksplisit. Berikut teknik umum yang sering digunakan yaitu:
a. Pemisah Variabel
b. Metode Subtitisi
Metode ini digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi lebih sederhana, seperti menggunakan subtitusi v=y/x atau v=y’ untuk persamaan diferensial homogen.
c. Metode Integral Faktor
Metode karakteristik untuk diferensial biasa linear orde kedua Metode ini digunakan unntuk menyelesaikan diferensial biasa orde kedua linier dengan koefisien konstan.
2. Metode Numerik
Metode yang digunakan untuk mengatasi solusi analitik sulit atau tidak mungkin diperoleh, pendekatan numerik digunakan untuk mendapatkan solusi perkiraan.
B. Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Persamaan diferensial persial (PDP) merupakan persamaan yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas. PDP digunakan untuk menggambarkan sebuah fenimena yang berubah lebih dari satu variabel seperti waktu dan ruang.
Metode penyelesaian yang digunakan pada persamaan diferensial biasa terdapat banyak jenis yaitu sebagai berikut:
1. Metode Analitik
Metode yang digunakan ketika solusi dapat diperoleh dalam bentuk fungsi eksplisit.
2. Metode Numerik
Metode yang digunakan untuk mengatasi solusi eksak yang sulit diperoleh, metode numerik dapat digunakan untuk mendekati solusi.
C. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial
1. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (1 variabel bebas)
Aplikasi yang digunakan di terapkan di berbagai bidang yaitu fisika, Teknik, biologi, ekonomi dan keuangan. Berikut penjabaran nya:
a. Fisika & Teknik pada materi Getaran pegas, rangkaian listrik (RLC), dinamika fluida sederhana.
b. Biologi pada materi Pertumbuhan populasi, penyebaran obat dalam tubuh.
c. Ekonomi & Keuangan pada materi Model pertumbuhan ekonomi Solow, harga saham (Black-Scholes).
2. Aplikasi persamaan Diferensial Parsial (2 atau lebih variabel bebas) Aplikasi yang digunakan di terapkan di berbagai bidang yaitu fisika, Teknik, biologi, dan ekonomi. Berikut penjabaran nya:
a. Fisika & Teknik pada materi Perpindahan panas (heat equation), gelombang suara (wave equation), aliran fluida (Navier-Stokes).
b. Biologi pada materi Difusi oksigen dalam darah, penyebaran penyakit (model epidemi).
c. Keuangan pada materi Model Black-Scholes untuk opsi keuangan.
D. Penerapan diferensia dalam MATLAB
Skrip Matlab menggunakana Metode Euler
10
clear all
cll
format short
b=10; %batas akhir interval
a=0; %batas awal interval
N=20; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; nilai step-size
w0=0; % nilai w awal
t0=0; % nilai t awal
g=9.8;
c=7;
m=70
% tempat penyimpanan data
w=zeros (N,1);
y=w; % tempat menyimpan y
t=w; % tempat menyimpan t
error=w; % tempat menyimpan error %
perubahan t sesuai step-size h adalah : for i=1:N
t(i)=a+(i*h);
end
% solusi netode euler:
w(1) =w0+h*gesekan_udara(t(k), w(k));
for i=2:N
k=i-1;
w(i)=w(k)+h*gesekan_udara(t(k), w(k));
end
% solusi exact:
for i=1+N
error(i)=w(i)-y(i);
end
% plot grafik solusi exact dan numerik metode euler
plot (t,w, ‘ro-‘, t,y, ‘b*-‘)
xlabel (‘waktu, t(s)’)
ylabel (‘kecepatan, v(m/s)’)
title (‘GRAFIK GERAK JATUH BEBAS DENGAN GESEKAN’) legend (‘Euler’, Exact’)
% Menampilkan tabel
It=1:N;
disp (‘ ‘)
disp (‘ SOLUSI NUMERIK DAN EKSAK GERAK JATUH BEBAS ‘) disp (‘ DENGAN HAMBATAN UDARA ‘) % TABEL OUTPUT
disp (‘ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ‘) disp (‘ i t(i) wi yi |wi-yi| ‘) disp (‘ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ‘) disp ([ It’ t w y error]) % mengisi tabel
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan dari suatu fungsi. Persamaan ini digunakan untuk menggambarkan berbagai fenomena dalam ilmu pengetahuan dan teknik, seperti pergerakan benda, pertumbuhan populasi, aliran panas, dan dinamika fluida. Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis berdasarkan sifatnya, yaitu:
1. Ordinary Differential Equation (ODE) yaitu persamaan diferensial yang hanya melibatkan turunan terhadap satu variabel independen. 2. Partial Differential Equation (PDE) yaitu persamaan diferensial yang melibatkan turunan terhadap lebih dari satu variabel independen.
Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada jenisnya, seperti metode pemisahan variabel, metode substitusi, dan metode numerik. Pemahaman tentang persamaan diferensial sangat penting dalam berbagai bidang ilmu untuk memodelkan dan memprediksi perilaku sistem dinamis.
DAFTAR PUSTAKA
Marbun, Y.M.R., M.Pd. (2021). Persamaan Diferensial Biasa. Makassar: UIN Alauddin Makassar.
Marbun, Y.M.R., M.Pd. (2021). Persamaan Diferensial. Pematang Siantar: Universitas HKBP Nommensen.
Murtafiah, W., & Apriandi, D. (2018). Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.
Ningsih, A.Y., M.Pd. (2022). Pengantar Persamaan Diferensial. Jakarta: Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA.
Nuryadi, S.Pd.Si., M.Pd. (2020). Persamaan Diferensial Elementer. Pekanbaru: Universitas Pahlawan Tuanku Tambusai.
Sardjono, S. U. Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian.
Setiyowati, R., & Sutrima. (2024). Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Aplikasinya: Teori, Teknik, & Contoh Soal. Yogyakarta: Stiletto Indie Book.
Komentar
Posting Komentar